Question

高中周期函数与对称性

已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式
解：当时∴f(－x)=2x+1
∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1
当时∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4
故f(-4+x)=f(x)
∴当时求f(x)=2x－7

（1）这上面的解题过程有错吗？

是否有这个定理：
如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（a+x）= f（b－x），那么y= f（x）的图像关于直线（a+b）/2的直线对称。
上面那道题目为什么不符合这个定理？
“类比命题3（1）知” 舍去

Answer 1

周期性就是f(x+t)=f(x)
对称性就是整个函数图象关于某条直线对称
这两条性质在正余弦函数中最常见
周期是1/w
对称轴有公式，还可以通过在对称轴上取得最值来算
别的题一般都会提到周期或对称

Answer 2

自己明白了。
如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（a+x）= f（b－x），那么y= f（x）的图像关于直线（a+b）/2的直线对称。
这是没有错的。但是不是周期函数，不能通过这个说明。
题目中有“已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)”所以可以知道对称轴为2。且关于y对称，由于这道题目没有使用到对称，所以就忽略了。

Answer 3

你题目不全，没法解，
另外你那个推论是错的，
或者说，只有a=b时，才成立，就是说，

如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（a+x）= f（a－x），那么y= f（x）的图像关于直线x=a对称

Answer 4

已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，
偶函数，周期函数