Question

求助一道高一必修1数学

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)满足条件f(-x+5)=f(x-3)，f(2)=0，且方程f(x)=x有两个相等的实根。问是否存在实数m、n（m＜n)，使得f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[3m，3n]。如果存在，求出m、n的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

因为f(2)=0，f(-x+5)=f(x-3)
所以f(0)=0推出c=0
因为方程f(x)=x有两个相等的实根，所以ax2+（b-1）x+c=0的△=0
等价于b2-2b+1-4ac=0且C=0所以啊（b-1）2=0，b=1
f(2)=0等价于4a+2=0,a=-1/2
讨论1.当n<=1,-1/2m2+m=3m,-1/2n2+n=3n,m=-4,n=0
2.m<1<n,最大值为顶点即3n=0.5,n=1/6，与条件矛盾
3.m>=1,-0.5m2+m=3n,-0.5n2+n=3m。两式相减
m+n=8,n=8-m,带回原式，无解。
综上所述，m=-4,n=0