Question

高中数学——指数函数及其性质

已知奇函数f(x)，偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a^x(a大于0，a不等于1），求证：f(2x)=2f(x)乘g(x).

Answer 1

f(x)+g(x)=a^x

f(-x)+g(-x)=a^-x

-f(x)+g(x)=a^-x

g(x)=(a^x+a^-x)/2

f(x)=(a^x-a^-x)/2

f(2x)=(a^2x-a^-2x)/2

2f(x)乘g(x)= 2[(a^x+a^-x)/2)][(a^x-a^-x)/2]=2(a^2x-a^-2x)/4

=(a^2x-a^-2x)/2

f(2x)=2f(x)乘g(x).

Answer 2

x取负得f(-x)+g(-x)=a^(-x)
且-f(-x)+g(-x)=a^x
所以f(x)=[a^x-a^(-x)]/2
g(x)=[a^x+a^(-x)]/2
所以f(2x)=2f(x)乘g(x).