求解一道高一数学题
周长为定值a的扇形,它的面积S是这个扇形的半径R的函数,则函数的定义域是(a/2(1+π),a/2)帮忙告下详细过程谢谢~...
周长为定值a的扇形,它的面积S是这个扇形的半径R的函数,则函数的定义域是(a/2(1+π),a/2)
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解:扇形周长是定值a,半径是R,
那么弧长是l=a-2R。
扇形面积s=lR/2=(a-2R)R/2
得到函数s(R)=-R^2+(a/2)R
由于R是半径长,所以R>0;
又由于l=a-2R是弧长,所以a-2R>0,即R<a/2
所以函数定义域是0<R<a/2 ……①
因为弧长l和半径R在弧度制下有关系式:l=θR,
其中θ是圆心角,弧度制下的范围是0<=θ<2π
由l=a-2R=θR可得θ=a/R-2
这样0<=a/R-2<2π,
在R>0的条件下可解得a/(2π+2)<R<=a/2 ……②
综合①②得,定义域的范围是:
a/(2π+2)<R<a/2
那么弧长是l=a-2R。
扇形面积s=lR/2=(a-2R)R/2
得到函数s(R)=-R^2+(a/2)R
由于R是半径长,所以R>0;
又由于l=a-2R是弧长,所以a-2R>0,即R<a/2
所以函数定义域是0<R<a/2 ……①
因为弧长l和半径R在弧度制下有关系式:l=θR,
其中θ是圆心角,弧度制下的范围是0<=θ<2π
由l=a-2R=θR可得θ=a/R-2
这样0<=a/R-2<2π,
在R>0的条件下可解得a/(2π+2)<R<=a/2 ……②
综合①②得,定义域的范围是:
a/(2π+2)<R<a/2
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其实就是周长为a的扇形的半径的范围的问题。
想象一下,如果这个扇形中心角很小,趋于0的时候,周长就是两个半径+很短的一段弧,弧趋于0,所有可以得到R的右边界是a/2,但不能取到。
同理,如果扇形几乎成一个圆,也就是中心角趋于360度,那么周长就是两个半径+弧,弧趋于2πR,所以a=2R+2πR,就得到左边界。同理也取不到。
所以是R属于(a/2(1+π),a/2)
想象一下,如果这个扇形中心角很小,趋于0的时候,周长就是两个半径+很短的一段弧,弧趋于0,所有可以得到R的右边界是a/2,但不能取到。
同理,如果扇形几乎成一个圆,也就是中心角趋于360度,那么周长就是两个半径+弧,弧趋于2πR,所以a=2R+2πR,就得到左边界。同理也取不到。
所以是R属于(a/2(1+π),a/2)
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S=R*(A-2R)/2 A-2R大于0 所以R小于A/2
周长A-2r=弧长 弧长小于那个圆的周长 所以A-2R小于2πr A-2R小于2πR
R大于a/2(1+π)
周长A-2r=弧长 弧长小于那个圆的周长 所以A-2R小于2πr A-2R小于2πR
R大于a/2(1+π)
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设扇形的圆心角m, 0<m<2π
则:a=mR+2R<2πR+2R=2R(1+π)
R>a/[2(1+π)]
而:a=mR+2R, mR=a-2R>0, 则:R<a/2
S=[m/(2π)]πR^2=(1/2)mR^2=(1/2)R*mR=(1/2)R*(a-2R)
函数的定义域是(a/[2(1+π)],a/2)
则:a=mR+2R<2πR+2R=2R(1+π)
R>a/[2(1+π)]
而:a=mR+2R, mR=a-2R>0, 则:R<a/2
S=[m/(2π)]πR^2=(1/2)mR^2=(1/2)R*mR=(1/2)R*(a-2R)
函数的定义域是(a/[2(1+π)],a/2)
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