Question

函数f（x）=ax/1+x^2(a≠0,a∈R). （1）若a=2，求f（x)在x>0是的最大值 （2）判断f（x）在区间（-1,1)

函数f（x）=ax/1+x^2(a≠0,a∈R).
（1）若a=2，求f（x)在x>0是的最大值
（2）判断f（x）在区间（-1,1)上的单调性

Answer 1

（1）f（x）=ax/（1+x2），a=2时
f（x）=2x/（1+x2），因为x＞0，所以1+x2≥2x＞0，
则0＜1/（1+x2）小于1/2x
则f（x）=2x/（1+x2）≤2x/2x=1
所以若a=2，求f（x)在x>0是的最大值 为1

（2）设m，n是函数的两个根，m，n∈（-1,1)（你可以转化为x1，x2，为书写方面），且m＜n；
则f（m）-f（n）=am2/（1+m2）-an2/1+n2
=a（m-n）（1-mn）/（1+m2）（1+n2）
因为m＜n，所以m-n＜0.m，n∈（-1,1)，所以1-mn＞0
当a＞0时
f（m）-f（n）＜0，函数单调递增
当a＞0时
f（m）-f（n）＞0，函数单调递减