问一道数学题。
.设a>0，f(x)=e²/a+a/e²是R上的偶函数。①求a的值。②证明f(x)在(0,+∞)上是增函数。请写过程。...
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设a>0，f(x)=e²/a+a/e²是R上的偶函数。
①求a的值。②证明f(x)在(0,+∞)上是增函数。
请写过程。 展开
设a>0，f(x)=e²/a+a/e²是R上的偶函数。
①求a的值。②证明f(x)在(0,+∞)上是增函数。
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（1）首先说明e^x是e的x次方的意思
f（x）=f（-x）恒成立
(e^x)/a+a/(e^x)=1/（ae^x）+ae^x
（a-1/a）（e^x-1/e^x）=0 恒成立
所以a=1/a
a>0，所以a=1
（2）f（x）=e^x+1/e^x
求导f’（x）=e^x-1/e^x=（e^2x-1）/e^x
x>0，e^2x>1，e^x>0
所以f’（x）>0所以f<x>在（0,+∞）上是增函数
f（x）=f（-x）恒成立
(e^x)/a+a/(e^x)=1/（ae^x）+ae^x
（a-1/a）（e^x-1/e^x）=0 恒成立
所以a=1/a
a>0，所以a=1
（2）f（x）=e^x+1/e^x
求导f’（x）=e^x-1/e^x=（e^2x-1）/e^x
x>0，e^2x>1，e^x>0
所以f’（x）>0所以f<x>在（0,+∞）上是增函数
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