Question

已知函数f(x)满足对任意实数x,y都由f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(—2)=—2

（1）求f（1）的值（2）证明：对于一切大于1的正整数t，都由f(t)>t(3)试求满足f（t）=t的整数的个数，并说明理由

Answer 1

1.令x=y=0，f(0)=2f(0)+1,则f(0)=-1
令x=-2,y=2,f(0)=f(-2)+f(2)-4+1,f(2)=4
令x=y=1,f(2)=2f(1)+1+1,f(1)=1.
2.f(t)=f(t-1+1)=f(t-1)+f(1)+t-1+1=f(t-1)+t
x>0时f(x)>0(这很容易看得出来） 所以f(t)>t
3.由1指，f(1)=1，当t>1时，由2知，f(t)=f(t-1)+t，当 x>0时f(x)>0，所以 f(t)>t
由题目条件知，f(-2)=-2，那么f(-2)=2f(-1)+2,则f(-1)=-2
当t<-1时,f(t)=f(t+1-1)=f(t+1)+f(-1)-t-1+1=f(t+1)-t-2>=f(t+1)>=f(-1)=-2
所以只能有f(-2)=-2
所以只有t=-2和t=1满足条件

Answer 2

(1)
f(0)=f(0)+f(0)+0+1，所以f(0)=-1
f(-2)=f(-1-1)=2f(-1)+2=-2，所以f(-1)=-2
f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)=-1
所以f(1)=-1-f(-1)=1

(2)直接证明比较麻烦，很容易循环证明，所以用数学归纳法(很容易看出来，这不是数学语言)，t=2是第一项
很显然f(2)=2f(1)+1+1=2f(1)+2=4>2，结论成立
假设对于t=k, k≥2，时结论都成立，即
f(k)>k
当t=k+1时
f(k+1)=f(k)+f(1)+k+1=f(k)+k+2>k+k+2=2(k+1)>k+1
即当t=k+1时，结论亦成立
于是对于任意的t>1，t是正整数，结论都成立

(3)由(2)可知只有当t≤1时方可以

根据题意也就是求满足f(t)-t=0的方程的解
由于t=1+t-1
所以f(t)=f(t-1)+f(1)+t-1+1=f(t-1)+t+1
f(t)-t=f(t-1)+1=0
也就是解f(t-1)=-1的解