Question

某人每次射击命中目标的概率为p,现连续向目标射击,直到第一次命中为止,求射击次数方差

Answer 1

var(n) = (1-p)/p^2

追问

我知道答案，，，敢问步骤怎么写啊

追答

Eξ=1/p，Dξ=(1-p)/p^2
Dξ=E(ξ^2)-(Eξ)^2
E(ξ^2)=p+2^2*qp+3^2*q^2*p+……+k^2*q^(k-1)*p+……
=p(1+2^2*q+3^2*q^2+……+k^2*q^(k-1)+……)
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：k^2*q^(k-1)=(k*q^k)',并用倍差法求和，有
1+2^2*q+3^2*q^2+……+k^2*q^(k-1)+……
=(q+2*q^2+3*q^3+……+k*q^k+……)'
=[q/(1-q)^2]'
=[(1-q^2)+2(1-q)q]/(1-q)^4
=(1-q^2)/(1-q)^4
=(1+q)/(1-q)^3
=(2-p)/p^3
因此E(ξ^2)=p[(2-p)/p^3]=(2-p)/p^2
则Dξ=E(ξ^2)-(Eξ)^2=（2-p)/p^2-(1/p)^2=(1-p)/p^2