Question

数学中的重心，中心，垂心的定义和性质

Answer 1

正三角形的重心、垂心、外心、内心重合的点叫中心

一个物体的各部分都要受到重力的作用。从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。
重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
锐角三角形垂心在三角形内部。
直角三角形垂心在三角形直角顶点。
钝角三角形垂心在三角形外部。
垂心是高线的交点
垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。
三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

Answer 2

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心
定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，
即外接圆圆心。的重心一般用字母表示。
性 质：
1.外心到三顶点等距
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边。
3.三个顶角的大小等于另外两个点与中心组成夹角的一半。
二、三角形的内心
定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。的内心一般用字母表示，它具有如下性质：
性 质：
1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝三角形的周长内切圆的半径．
三、三角形的垂心
定 义：三角形三条高的交点叫重心。的重心一般用字母表示。
性 质：
1.顶点与垂心连线必垂直对边
四、三角形的“重心”：
定 义：三角形三条中线的交点叫重心。的重心一般用字母表示。
性 质：
1.顶点与重心的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。
3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．