Question

关于高中数学函数对称性的问题

看到这两个命题，1，f(a+x)=f(b-x)，所以，其关于(a+b)/2对称。2，函数f(a+x)与函数f(b-x)，关于(b-a)/2对称。为什么结论不一样？怎么证？

Answer 1

第一个：f(a+x)=f(b-x)的对称轴是x=(a+b)/2注意这个是一个轴对称的函数图像，是一个图像先要知道一个关系：如果f(a+x)=f(a-x),那么关于x=a对称并且可以通过令y=a+x可以推论：如果f(x)=f(2a-x),那么关于x=a对称所以我们根据这个道理做变换:令y=a+x,则x=y-a那么f(y)=f[(b+a)-y] 所以对称轴是x=(a+b)/2第二个：函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的对称轴是x=(b-a)/2注意这个是两个函数图像关于轴对称 ，区别于第一个问题我们知道f(a+x)表示把f(x)向左平移a个单位，而f(b-x)表示把f(x)先关于y轴翻折再向右平移b个单位。这样，图像的形状其实没有改变，并且正好左右对称，不过对称轴不是y轴了，而是x=b与x=-a的中间直线，所以中间的位置表示就是x=(b-a)/2