Question

设单调可微函数f(x)的反函数为g(x),f(1)=3,f'(1)=2,f"(3)=6则g'(3)

设单调可微函数f(x)的反函数为g(x),f(1)=3,f'(1)=2,f"(3)=6则g'(3)=( ? )

Answer 1

因为g(f(x))=x

两边对x求导，得：g'(f(x))*f'(x)=1

将x=1代入上式，得：g'(f(1))*f'(1)=1

而f(1)=3, f'(1)=2,因此有g'(3)*2=1

所以g'(3)=1/2

可微性

魏尔斯特拉斯函数连续，但在任一点都不可微。若ƒ在X0点可微，则ƒ在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。

实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。人们发现的第一个处处连续但处处不可微的函数是魏尔斯特拉斯函数。

Answer 2

因为g(f(x))=x
两边对x求导，得：g'(f(x))*f'(x)=1
将x=1代入上式，得：g'(f(1))*f'(1)=1
而f(1)=3, f'(1)=2,因此有g'(3)*2=1
所以g'(3)=1/2