Question

是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2-(3a-2)x+a-1

在区间[1,3]上有且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由

Answer 1

可以变量分离，先移项：a(3x-1)=x2+2x-1，
在[1，3]上3x-1不等于0，把a解出来：a=(x2+2x-1)/(3x-1)
下面研究右边这个分式。
分子为二次式，分母为一次式。为了方便化简，设t=3x-1（把次数低的换掉），则x=(t+1)/3，t大于等于2小于等于8。
将x=(t+1)/3代入分式，化简，原分式化为(t2+8t-2)/(9t)
然后分子分母同时除以t，得(t+8-2/t)/9。
这样就看出这个函数在[2，8]上是增函数，t=2时函数有最小值1，t=8时函数有最大值7/4
可以大致画出函数y=(t+8-2/t)/9的图像，再加入函数y=a的图像，让两个图像只有一个交点，a的范围当然就是[1，7/4]。