Question

已知(fx)是二次函数，若f(0)=0,且f(x +1)=f(x)+x+1. (1)求函数的解析式

已知(fx)是二次函数，若f(0)=0,且f(x
+1)=f(x)+x+1.
(1)求函数的解析式
(2)求函数y=f(x²-2)的值域

Answer 1

1)设二次函数方程为，f(x)=ax^2+bx+c
将x=0,x=-1,代入f(x +1)=f(x)+x+1得
f(1)=f(0)+1=1
f(0)=f(-1)=0
所以，f(1)=a+b+c=1,f(0)=c=0,f(-1)=a-b+c=0
解得，a=1/2,b=1/2,c=0
解析式为，f(x)=1/2x^2+1/2x
2)f(x)=1/2x^2+1/2x的对称轴x=-1/2,
所以有最小值，f(x)=-1/8
令t=x²-2>=-2

f(t)=1/2t^2+1/2t,t=-1/2时有最小值-1/8
所以，值域为，[-1/8,正无穷）

Answer 2

（1）设f（x）=ax^2+bx+c f(0)=0 得出：c=0
由f(x+1)=f(x)+x+1 ，
当x=0时，f(1)=f(0)+0+1 即：f(1)=1
当x=-1时，f(0)=f(-1)+(-1)+1=0 即f(-1)=0
将f(1)=1，f(-1)=0代入f(x)=ax^2+bx
得出 a=1/2 ，b=1/2
所以：f(x)=1/2x^2+1/2x
(2)f(x)=1/2x^2+1/2x的对称轴x=-1/2 最小值为f(-1/2)=-1/8
令s=t^2-2≥-2 其中s∈[-2,﹢∞)
得出：f(s)在s=-1/2时取得最小值-1/8
y=f(x^2-2)的值域为：y∈[-1/8,﹢∞)