Question

在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴

在平面直角坐标系xoy中，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点。 （1）求抛物线解析式 （2）设抛物线的顶点为D，若点P在抛物线的对称轴上，是否存在点P使∠APD=∠ACB?若不存在，请说明理由。若存在，求出点P坐标。

Answer 1

（1）点C为（0,3）
LBC：y=-x+3
y＝x²＋bx＋c 点B（3,0）代入
0=9+3b+3
b=-4
所以y＝x²-4x＋3
（2）存在。设P（2，m），∠APD=θ=∠ACB
D（2，-1），A（1，0），B（3,0），C（0,3）
向量PD=（0，-1-m）
向量PA=（-1，-m）
向量PD X 向量PA=m（m+1）
COSθ={m（m+1）}/{|m+1|X根号（m^2+1）}
向量CB=(3，-3)
向量CA=（1，-3）
向量CB X 向量CA=12
COSθ=12/（3根号2X根号10）=2/根号5
所以{m（m+1）}/{|m+1|X根号（m^2+1）}=2/根号5
化简得m^2=4
m=2或者m=-2
所以点P为
（2,2）或者（2，-2）