Question

关于高中数学必修一的难题，高手进！

定义在R上的函数f(x)，对任意的x,y属于R,有f(x+y
有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0，求证f(0)=1，速度要快，过程要详细，高中的数学好难，都跟不上了，希望哪位哥哥姐姐帮我复习一下必修一的集合和函数的章节，谢谢了！

Answer 1

令x=0,y=0,由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)得：f(0)+f(0)=2f(0)f(0),
2f(0)=2f(0)f(0),又因为f(0)不等于0，所以f(0)=1.
这个是楼上的答案，我觉得完全正确。
本人已经高中毕业3年了，虽然高考的时候数学只考了130多，有点丢人，不过数学自认为学的还可以。其实数学并不像你想象的那么难，就说这个集合和函数吧，具体的概念我忘了，你可以查书看看。我认为集合就是一个抽象的概念，打个通俗的比方，就像性格相似的人聚在一起似的，我记得有三个特点吧，查书看看记住即可；而函数就是从集合到集合的映射，掌握三个基本要素：定义域，对应关系，值域的意义就好。我想一般考试应该不会直接考这个吧，都是把相关函数的东西与其他知识点融合在一起出题。因为函数是高中数学的根本了吧，大多数知识点都是从它上面建立起来的。
就说这道题吧，它问的是f（0）=1，所以你就该从f（0）入手，考虑如何凑出f（0）来，而根据题设就比较容易想到令x=0,y=0，因为这样就能出现f（0），也就有可能得到结论，而事实也正是如此。做其它问题的时候也可以用相似的角度去考虑，如果你能从结论出发反向思维，了解他所要考察的知识点的话，你的数学相信就有了一个不错的提高了。
如果觉得我说的不对或是有什么观点都可以给我留言，随时欢迎批评指正。

Answer 2

我赞成天涯a天使的解答
假设y=0，则原式变为f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
即2f(x)=2f(x)f(0)
解得f(0)=1

如果是用
假设y=0，则原式变为f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
即2f(x)=2f(x)f(0)
解得f(0)=1

这种方法的牵强之处在于题目并未表明f(x)不为0，如果f(x)=0，则f(0)可以为0以外的任意实数。

这类题的突破口就在于变化函数的形式，初看题目你可能会想，f(0)在哪里？其实我们可以令x,y为0呀！这就是数学思维的奇妙。数学并不难，希望你能喜欢上它，体会到数学的美。

Answer 3

令x=0,y=0,由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)得：f(0)+f(0)=2f(0)f(0),
2f(0)=2f(0)f(0),又因为f(0)不等于0，所以f(0)=1.

Answer 4

假设y=0，则原式变为f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
即2f(x)=2f(x)f(0)
解得f(0)=1

Answer 5

设x=0,y=0,因为f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 所以f(0)+f(0)=2f(0)f(0),
2f(0)=2f(0)f(0),又因为f(0)不等于0，所以f(0)=1.