Question

与圆有关的计算

8、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.

Answer 1

证明：

(1)连接OD

因为AB是⊙O的直径

CB，CD分别与⊙O相切于BE两点

所以CB=CE

因为AD+BC=CD

即AD+CE=CD

可得AD=DE

又因为OA=OE，OD为公共边

所以△ODA≌△ODE (SSS)

所以∠OAD=∠OED=90°

即OA⊥AD，AB为直径

所以AD是⊙O的切线

解：

(2)连接AE，OC

则∠OEA=(180-∠AOE)/2

∠EOC=(180--∠AOE)/2=∠OEA

所以AE∥OC  (内错角相等，两直线平行）

由此可得△AEF∽△COF

可得EF/OF=AF/CF=2/3

所以CF/AC=CF/(AF+CF)=3/5

CF²=EF²+CE²=EF²+BC²=4+BC²

AC²=AB²+BC²=(2OE)²+BC²=100+BC²

CF²/AC²=(3/5)²=9/25=(4+BC²)/(100+BC²)

整理得16BC²=800

BC=5√2