Question

如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论

如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论： ①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④正方形ABCD的对角线长为：1+根号3 其中正确的序号是____________(把你认为正确的都填上)．

Answer 1

1、在RT△ABE和RT△ADF中
AB=AD，AE=AF
∴RT△ABE≌RT△ADF(HL)
∴BE=DF
∴BC-BE=DC-DF
即CE=CF
2、∵RT△ABE≌RT△ADF(HL)
∴∠BAE=∠DAF
∵∠BAD=90°，∠EAF=60°
∴∠BAE+∠DAF=90°-60°=30°
∴∠BAE=∠DAF=30°/2=15°
∴∠AEB=90°-∠BAE=90°-15°=75°
3、∵∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-75°-60°=45°
∴△CEF是等腰直角三角形
∴CE=CF=√2/2EF=√2/2×2=√2
∴sin15°=BE/AE
BE=AE×sin15°
=2×(√6-√2)/4=(√6-√2)/2
∴BE=DF=(√6-√2)/2
∴BE+DE=√6-√2
而 EF=2
∴不成立
4、BC=CD=BE+CE=(√6-√2)/2+√2=(√6+√2)/2
∴AC=√2BC=√2(√6+√2)/2=√3+1 (勾股定理）
∴选 ①；②；④

Answer 2

AE = AF，AB = AD，角B和角D都是直角，由勾股定理，BE = DF，故CE = CF，1正确
由上述结论，三角形ABE全等于三角形ADF，则角BAE = 角DAF
因为 角BAE + 角DAF + 60度 = 90度，所以角BAE = 角DAF = 15度，则角AEB = 75度，2正确
BE = DF = 2*sin15度，BE + DF = 4*sin15度，EF = 2 = 4*sin30度，两者显然不等，3错误
AB = 2*cos15度，因为 cos30 = cos(2*15) = 2(cos15)^2 - 1 = √3/2
所以 cos15 = √[ (√3+2)/4 ] = √[ (2√3+4)/8 ] = √[ (1+√3)^2/8 ] = (1+√3)/(2√2)
对角线长度为 √2*AB = 2√2*cos15 = 1 + √3，4正确
所以答案是124

Answer 3

如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论： ①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④正方形ABCD的对角线长为：1+根号3 其中正确的序号是__①②_(把你认为正确的都填上)．
1、△ABE≌△ADF
BE=EF
∴CE=CF
因此，①正确
2、∠EAF=90°
∠BAF=15°
∴∠∠AEB=75°
因此，②正确
3、令正方形边长为x
CF=√2
DF=x-√2
(x-√2)²+x²=2²
x=(√2+√6)/2
因此，③④不正确。

Answer 4

①②④。。。。。。