Question

数列的极限

lim三次根号下N的平方加N 除以N 是什么？？ 书上写的看不懂啊

Answer 1

这几个题目很远代表性，你平时作业之所以不会做，可能是因为你基本的东西部知道，其实书本上有一些我下面解题用到的某个函数在某种情况下的极限，把这些记清楚，且要知道一些基本的形式如何变化，一般的求极限就没有问题了！下面是这些题的解题过程，我写了很久，希望你自己下去总结研究一下，希望对你有帮助

一：有题目知该式子满足使用诺必达法则的条件，因此，对函数f分子分母分别求一阶倒数得到4X^3/(3X^2)=4X/3 由于X趋于1，故极限为4/3

二：将被积函数分子分母同时乘以√(x+Δx) + √(x 化简之后代入Δx=0得到极限为1/(2√x)

三：本题目与第二题一样，先将函数分子分母同乘以√(2x+1) + 3化简之后代入x=4得到极限为无穷大

四：本题目与二、三解法一样，将函数分子分母同乘以1+√(tanx+1）化简之后代入x=0得到极限为-2

六：分子分母（这里将分母看做1）同时乘以√(x^2+x+1) + √(x^2-x+1)将得到的结果化简，化简后得到2x / ( √(x^2+x+1)+√(x^2-x+1) )将式子分子分母同时除以x，分子变为2，分母变为√(1 + 1/x +1/x^2 ) + √(1 - 1/x + 1/x^2) 因为x为无穷大，所以式子√(1 + 1/x +1/x^2 ) + √(1 - 1/x + 1/x^2)中所有含有x的项均趋于0，此时我们可以直接将其视为0，得到√(1 + 1/x +1/x^2 ) + √(1 - 1/x + 1/x^2)趋于2，所以整个极限为1/2

七：因为sinx函数有界，当x趋于0时，就可以用无穷小乘以一个有界函数的值仍为无穷小这一结论来做，即本题极限为0

八：这种题目先将分母乘以2（再将整个函数乘以0.5就可以保证函数值和原来一样），得到的形式正是高数课本上面的标准形式：当x趋于0时，sinx/x的极限为1，类似，所以极限为0.5

九：当x趋于0时，1-cosx可以视为x^2/2的高阶无穷小，tanx为x的高阶无穷小，即分子变为x^2/2，分母变为x^2，所以极限为1/2

十：因为x趋于0时，2x也趋于0，故tan2x可以看做2x，则函数的分母就可以写成2x，再将变换后的函数分子分母同时乘以√(1+x) + 1得到极限为1/2

十一：（2x+1）/(2x-1)化简为1+ 1/(x-0.5)，令t= x-0.5 (x趋于无穷，故t也趋于无穷)，即有x=t+0.5 ，所以原函数可以写为 （1+ 1/t）的（t+0.5）次方，可以写为：（1+ 1/t )^t 乘以（1+ 1/t）^0.5 ，当t趋于无穷时，（1+ 1/t )^t 的极限为e，（1+ 1/t）^0.5 的极限为1，将两个极限相乘，就得到要求的极限，结果为e

十二：已知x趋于无穷时，（1+1/x）的x次方的极限为e（课本上有），固有（1-1/x）的x次方当x趋于无穷的极限为1/e，（所有这种类型的题目都用这种解法）。而且原函数的极限可以看做是（1-1/x）的x次方的极限的k次方（极限的性质之一），故极限为1/e^k