Question

如图,在三角形ABC中,AB=AC=5,BC=6点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合），过D作

DE∥BC，交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处．连接BA′，设AD=x，△ADE的边DE上的高为y．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若以点A′、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似，求x的值；
（3）当x取何值时，△A′DB是直角三角形．

Answer 1

1
△ABC的高h为：h=4.
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC
则h/y=5/x,即y=4x/5
2
连接AA‘并延长交BC于E，则AA'⊥BC，又AB=AC，所以AE平分BC，故BE=3
又A'E=4-2y，所以A'B^2=25-16y+4y^2
而BD=5-x，A'D=x
由相似知BD，A'D，A'B必有两者相等
若BD=A'D，则x=5-x，x=2.5，y=2,
A'B=3
而BD/AB=0.5，A'B/BC=0.5.所以假设成立
若A'D=A'B，解得y=4或y=100/39
y=4时D、B重合，舍去，取y=100/39
此时x=125/39
A'D/AB=25/39,BD/BC=35/(39*6),不相似
若BD=A'B，则y=0或y=56/39
y=0时D与A重合，舍去，取y=56/39，此时x=70/39
BD/AB=25/39,A'D/BC=70/(39*6),故不相似

3
由图知角A'DB大小不变，且计算可得角A’DB为锐角
而角A'BD总是锐角
故只有角BA'D可能是直角
此时A'B^2+A'D^2=BD^2，带入数据得x=5，y=4
（x=y=0舍去）