Question

已知函数f(x)=x^2+2(a-2)x+4 (1)如果对x∈[1,3],f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围 (2)如果对a∈[1,3],

已知函数f(x)=x^2+2(a-2)x+4
(1)如果对x∈[1,3],f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围
(2)如果对a∈[1,3],f(x)>0恒成立,求实数x的取值范围

Answer 1

f(x)为开口向上的抛物线，对称轴为x= 2 - a, 顶点(2 - a, 4 - (a - 2)²)
(1) 如果对一切x∈R，f(x) ＞0恒成立, 则4 - (a - 2)²>0, a(a - 4)<0, 0<a<4
(2)
(i) 对称轴x = 2 - a ∈[1, 3], 1 ≤ 2 - a ≤ 3, -1 ≤ a ≤ 1
4 - (a - 2)²>0, 0<a<4
结合前提: 0<a ≤ 1
(ii) 对称轴x = 2 - a<1, a>1
此时[1,3]在对称轴右侧，f(x)>0, 只须f(1)>0
f(1) = 1 + 2(a - 2) + 4 = 2a + 1>0
a>-1/2
结合前提, a>1
(iii)对称轴x = 2 - a>3, a<-1
此时[1,3]在对称轴左侧, f(x)>0, 只须f(3)>0
f(3) = 9 + 6(a - 2) + 4 = 1 + 6a>0
a>1/6
结合前提: -1/2<a<1
与a<-1矛盾，此时无解。
(i)(ii)(iii)结合: a>0

Answer 2

追问

第二小题为什么不讨论了？

追答

[1,3]是（0,4）的子集
所以判别式小于0，f(x)开口向上，所以f(x)恒大于0

还讨论什么！！！