Question

如图，四边形ABCD内接于圆O.AC于BD相交于点E.AB=CD 求证：1,AC=BD 2,若F是

如图，四边形ABCD内接于圆O.AC于BD相交于点E.AB=CD 求证：1,AC=BD 2,若F是圆O上一点，且弧CF=弧AD。AF的延长线交于点P.求证ED^2=EB乘EP

Answer 1

（1）因，AB=CD，所以，弧AB=弧CD，弧AB+弧AD=弧CD+弧ABD，即，弧BAD=弧ADC，

所以，角ABC=角DCB，同理可证，角CDA=角BAD，所以，角ABC+角BAD=180度，所以，

AD//BC，所以，四边形ABCD是等腰梯形，所以，AC=BD。

（2）因为，AD=CF，所以，弧AD=弧CF，所以，角DCA=角CAF，同圆等弧所对的圆周角相等），而，角DCA=角DBA，所以，角CAF=角DBA，即，角EBA=角EAP，角P为公共角，

所以，三角形EBA相似于三角形EAP，AE/EB=EP/AE，即，AE²=EB*EP

又因为，角CDA=角BAD，角CDE=角BAE（同弧）所以，角CDA-角CDE=角BAD-角BAE，

即，角EDA=角EAD，所以，ED=AE，所以，ED²=EB*EP。