Question

矩阵秩性质问题

若 矩阵A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，若AB=0,则R(A)+R(B)<=s，为什么？谢谢

Answer 1

矩阵AB是0矩阵——》矩阵B的任一列向量x都是方程Ax=0的解，
1.如果A列满秩，即R（A）=s，由方程解的性质——》方程只有0解——》x的所有元素都为0——》R（B）=0——》R（A）+R（B）=s。
2.如果A非列满秩，即R（A）=a<s,则Ax=0的解空间的秩为s-a。由于B是由Ax=0的解向量组成的，相当于从解空间中任意抽出n个列向量。所以R（B）<=s-a.即R（A）+R（B）<=s。

Answer 2

设R(A)=r,R(B)=t,由AB=O可知B的列向量组都是齐次线性方程组AX=O的解向量，而B的列向量组又只是齐次线性方程组AX=O的所有解向量的一部分向量。所以B的列向量组的秩<=s齐次线性方程组AX=O的所有解向量构成的向量组的秩，而齐次线性方程组AX=O的所有解向量组的秩=等于其基础解系所含向量的个数s-r,故R(B)<=s-r.即R(B)<=s-R(A)，所以有R(A)+R(B)<=s。