Question

已知在△ABC中，∠ABC＝90度，AB=3，BC=4，BP=BQ.点Q是线段AC上的一个动点，过

已知在△ABC中，∠ABC＝90度，AB=3，BC=4，BP=BQ.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB的延长线于点P 如图。

Answer 1

（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠APQ=∠C．

在△APQ与△ABC中，

∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，

∴△AQP∽△ABC．

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．

∵∠BPQ为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，

（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．

∵∠QBP为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ，

由（1）可知，△AQP∽△ABC，

（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ．
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，点B为线段AP中点，
∴AP=2AB=2×3=6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为3/5或者6