Question

已知函数gx=x/(lnx),fx=gx-ax 若函数fx在（1，正无穷）上为减函数，，求a的最小值

Answer 1

g’(x)=(lnx-1)/(lnx)^2
f’(x)=g’(x)-a
因为函数f(x)在（1，+∞）上为减函数，
故当x>1时，f’(x)≤0恒成立,即g’(x)≤a恒成立，
令h(x)= g’(x)
由h(x) ≤h max(x) ≤a,
因此，h(x)在（1，+∞）上的最大值就是a的最小值。下面全力以赴求hmax(x)。
我们再用导数法，对h(x)求导，实质上对g’(x)求导，即对g(x)第二次求导。
h’(x)=[1/x)(2-lnx)]/(lnx)^3
令h’(x)=0，由x>1,得lnx=2,x=e²。
当1<x< e², h’(x)>0;当x> e², h’(x)<0.
所以，h max(x)= h(e²)=1/4
从而a min=1/4
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