Question

如图，OA、OB为⊙的半径，OA⊥OB，连接AB。点C、D分别为OB、OA的中点，线段AC、BD相交于点E

（1）求证：AC=BD
（2）若BE=2倍根号5，求⊙O的半径OA的长。
【希望会的人帮忙解答一下，只解答第二问就行了，很急，谢谢】

Answer 1

看了半天，只想到一个办法，用三角函数和的公式算。
∠OBA= 45度，tan∠OBD = 1/2
所以tan(∠ABD) = tan(∠OBA - ∠OBD) = (tan∠OBA - tan∠OBD) / (1 + tan∠OBAtan∠OBD)
= (1 - 1/2) / (1 + 1X1/2) = 1/3。
过点E做AB的一条垂线，假设是EF。tan∠EBF = 1 / 3，由于BE = 2倍根号5，可以算出来BF等于3/2乘以根号10，也就是半径的二分之根号2等于3/2乘以根号10，可得半径为3倍的根号5。

追问

三角函数和的公式没有学过呢，还有别的方法么？做个辅助线之类的……

追答

不好意思，只想到这一个办法。
楼下的那个方法真的挺好的，我都忘了重心这个概念了。
就用他的吧，重心分线段比是2：1我记得是可以直接用的。证明起来比较麻烦，直接用就行了。

追问

呵呵，我现在已经会了，可以连接CD，CD为中位线用平行证相似，再证边的比为2:1，就行了。这是我们现在学的，重心定理真心没有学过，不过，谢谢了~~

Answer 2

E是三角形OAB重心，BE：ED＝2：1，BD＝3根号5，OD＝OB/2，勾股定理5OD平方＝45，OD＝3，OA=6

追问

因为E是三角形OAB重心，所以BE：ED就等于2：1了吗？这是什么判定吗？有没有别的方法证BE：ED＝2：1呢？详细点呗，谢了。