Question

数列证明问题

已知数列Xn+1=Xn/2 +2/Xn,Xn≠0,且X1为正数。
证明：对一切正整数n，Xn+1≤Xn的充要条件是x1≥2。
我对图片上的解法有点疑惑，在必要性证明那里，引入X2≤X1 然后由已知条件替换掉X2，得到只有X1的一元一次不等式，然后解出X1的范围。
我想啊，为什么要那么麻烦引入X2≤X1 ，直接把Xn+1用Xn表示，替换掉Xn+1，然后得到只有Xn的一元一次不等式，解出Xn的范围就是Xn≥2，所以X1≥2也自然成立了。
这样也方便充分性的证明！我说的对吗？

Answer 1

显然不对
你要搞清楚什么是充分性,什么是必要性
必要性是 "x[n+1]≤x[n]" => "x1≥2"
充分性是 "x1≥2" => "x[n+1]≤x[n]"
你利用必要性中已知的条件"x[n+1]≤x[n]"推出x[n]≥2，在充分性的证明中显然是不能用的,因为充分性中已知的条件是"x1≥2",而"x[n+1]≤x[n]"是现在要推出来的,别把条件与结论搞反了