Question

计算行列式

Answer 1

c2-c1，c3-c2，c4-c3，c5-c4

D=|a1+a2 a3-a1 a4+a1 a5-a1 2a1|
a1^2+a2^2 a3^2-a1^2 a4^2+a1^2 a5^2-a1^2 2a1^2
a1^3+a2^3 a3^3-a1^3 a4^3+a1^3 a5^3-a1^3 2a1^3
a1^4+a2^4 a3^4-a1^4 a4^4+a1^4 a5^4-a1^4 2a1^4
a1^5+a2^5 a3^5-a1^5 a4^5+a1^5 a5^5-a1^5 2a1^5

c4+c5/2、c3-c5/2、c2+c5/2、c1-c5/2

D=|a2 a3 a4 a5 2a1|
a2^2 a3^2 a4^2 a5^2 2a1^2
a2^3 a3^3 a4^3 a5^3 2a1^3
a2^4 a3^4 a4^4 a5^4 2a1^4
a2^5 a3^5 a4^5 a5^5 2a1^5

提出2（c5的），c5通过4次交换成c1：c5<->c4，c4<->c3，c3<->c2，c2<->c1

D=2|a1 a2 a3 a4 a5|
a1^2 a2^2 a3^2 a4^2 a5^2
a1^3 a2^3 a3^3 a4^3 a5^3
a1^4 a2^4 a3^4 a4^4 a5^4
a1^5 a2^5 a3^5 a4^5 a5^5 【(-1)^4=1,所以不变号】

各列提出一个公因式，成《范德蒙行列式》

D=2a1a2a3a4a5*|1 1 1 1 1|
a1 a2 a3 a4 a5
a1^2 a2^2 a3^2 a4^2 a5^2
a1^3 a2^3 a3^3 a4^3 a5^3
a1^4 a2^4 a3^4 a4^4 a5^4
=2a1a2a3a4a5(a5-a4)(a5-a3)(a5-a2)(a5-a1)(a4-a3)(a4-a2)(a4-a1)(a3-a2)(a3-a1)(a2-a1)

Answer 2

Answer 3

D =
a1 a2 a3 a4 a5
a1^2 a2^2 a3^2 a4^2 a5^2
a1^3 a2^3 a3^3 a4^3 a5^3
a1^4 a2^4 a3^4 a4^4 a5^4
a1^5 a2^5 a3^5 a4^5 a5^5
*
1 0 0 0 1
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
= 2a1a2a3a4a5(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a5-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a5-a2)(a4-a3)(a5-a3)(a5-a4)

Answer 4

Answer 5