Question

高二数学 急急急！！！！！！！

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是角A=60度，边长为a的菱形，又PD垂直底ABCD，且PD=CD，点M，N分别是棱AD，PC的中点
（3）求点A到平面PMB的距离

Answer 1

证明:
过A作PM的垂线,交PM的延长线于Q,连接BD
∵菱形ABCD的一个角为60°
∴△ABD为等边三角形
又∵M为AD中点
∴BM⊥AD
又∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥BM
综上:
∵BM⊥AD,BM⊥PD,AD∩PD=D
∴BM⊥平面PAD
又∵AQ⊆平面PAD
∴BM⊥AQ
∵AQ⊥BM,AQ⊥PM,BM∩PM=M
∴AQ⊥平面PBM
∴AQ的长度就是A到平面PMB的距离
下面我们进行计算AQ:
∵M是AD中点,∴DM=a/2
∴根据勾股定理可知:PM²=PD²+DM²,∴PM=a√5/2
∴cos∠DPM=a/(a√5/2)=2/√5
又∵∠QAM+∠AMQ=∠DPM+∠DMP,且∠AMQ=∠DMP
∴∠QAM=∠DPM
∴cos∠QAM=2/√5
在RT△AQM中:
AQ=AM×cos∠QAM=(a/2)×(2/√5)=a/√5
∴点A到平面PMB的距离为a√5/5