Question

设a为实数,函数f(x)=x^2+|x-a|+1

设a为实数,函数f(x)=x^2+|x-a|+1,x∈R,
讨论f(x)的奇偶性
求f(x)最小值

Answer 1

1。 f(-x)=x^2+|-x-a|+1=x^2+|x+a|+1
当 a=0时，f(-x)=x^2+|x|+1=f(x),是偶函数；
当 a≠0时，f(x)为非奇非偶函数。
2。 当 x=a时，f(x)=x^2+1,其最小值为1；
当 x>a时，f(x)=x^2+x-a+1,其最小值为[4(1-a)-1]/(4a)=(3-4a)/(4);
当 x<a时，f(x)=x^2-x+a+1,其最小值为[4(a+1)-1]/(4a)=(3+4a)/(4)。