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不妨设f(x)单调增，任取y0∈[A,B]，定义g(x)=f(x)-y0，则g(a)<=0,g(b)>=0,由介值定理知存在x0∈[a,b]使f(x0)=y0，即[A,B]⊆f([a,b]);
另一方面，任取y1∈f([a,b])，由于f(x)单调增，必有A<=y1<=B，故y1∈[A,B],此即f([a,b])⊆[A,B].
综合以上，知f([a,b])=[A,B]
另一方面，任取y1∈f([a,b])，由于f(x)单调增，必有A<=y1<=B，故y1∈[A,B],此即f([a,b])⊆[A,B].
综合以上，知f([a,b])=[A,B]
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