Question

关于函数奇偶性的问题

如果一个函数中自变量x都是奇次幂，那么这个函数是奇函数，如果一个函数中自变量x都是偶次幂，那么是偶函数，如果既有奇次幂又由偶次幂就是非奇非偶函数。这句话对吗？有什么适用范围吗？（我记得老师好像讲的是适用于整式多项式函数中，但不确定，希望大家给出详细的解释） 另外，x/√(x^2-1)是奇函数还是偶函数?
还有就是证明奇偶性的思路就是找到f(x)与f(-x)的关系是吧？
急急急急急急急！！！

Answer 1

举例：x∈R
（1）y=x²+2，x∈R，
（2）y=x³+x，x∈R，
（3）y=ax+b,（a≠0），x∈R，
（4）y=ax²+bx+c，(a≠0)，x∈R，
（5）y=0，x∈R，
（6）y=x³/(x²-1).

解释：（1）是偶函数，（2）是奇函数，适合结论；

（3）为奇函数的充要条件是b=0，（4）为偶函数的充要条件是b=0，也可用结论解释；

（5）比较特殊了，函数y=0 ，x∈R，既是奇函数又是偶函数，它可以含x的奇次幂，也可以含x的偶次幂，如y=0×x³，y=0×x²，这样结论就有问题了；

（6）尽管函数解析式中既有x的奇次幂，又有x的偶此幂，但函数y为奇函数.

综上考虑，我个人认为这类问题不宜形成结论，关键还在于函数的奇偶性的定义，有了定义，就可以判断，定义才是“结论”.

另：y=x/√(x²-1)的定义域为（－∞，-1）∪（1，＋∞）
且f(-x)= -f(x)，∴.它是奇函数.

证明函数的奇偶性的步骤与方法：
（1）求出函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
（2）当函数的定义域关于原点对称时，再判断f(-x)= -f(x)和f(-x)=f(x)是否恒成立.

Answer 2

不用刻意去记忆什么规律，把握住F(-x)=+ -F(x)即可，以不变应万变