Question

函数y=x＋2cosx在区间[0，π／2]上的最大值是

用导数求
求详细步骤，谢谢

Answer 1

解由y=x＋2cosx x属于[0，π／2]
求导得y'=1-2sinx
令y'=0
即1-2sinx=0
解得sinx=1/2
即x=π/6
当x属于（0，π/6)时，由0＜sinx＜1/2，知y'=1-2sinx＞0
当x属于（π/6，π/2)时，由1＞sinx＞1/2，知y'=1-2sinx＜0
知y=x＋2cosx 在x属于（0，π/6)时是增函数，
y=x＋2cosx 在x属于（π/6，π/2)时是减函数，
故当x=π/6时，y有最大值y=π/6+2cosπ/6=π/6+√3.

追问

为什么。当x属于（0，π/6)时，由0＜sinx＜1/2，知y'=1-2sinx＞0
当x属于（π/6，π/2)时，由1＞sinx＞1/2，知y'=1-2sinx＜0，是怎么判断出来的，麻烦了

追答

当x属于（0，π/6)时

得0＜sinx＜1/2
即sinx＜1/2

即2sinx＜1
即1-2sinx＞0
即y'=1-2sinx＞0

x属于（π/6，π/2)时，
由1＞sinx＞1/2

即sinx＞1/2
即2sinx＞1
即1-2sinx＜0
即y'=1-2sinx＜0

Answer 2

函数对X求导，令倒数等于零求解X，看X是否落在区间上，若落在区间内，看是否满足左增右减为极大，左减又增为极小，不满足则选择端点值比较最大的，如果不在，直接考虑端点比较，最大为最大值。y=x+3cosxy的导数=1-3sinx令 y的导数=0；求解方程0=1-3sinx，x=arcsin1/3<arcsin1/2=pi/6 （arcsinx 在 0到pi/2是增函数），且左增右减，故x=arcsin1/3为最大值点，带入y得y（arcsin1/3）=arcsin1/3+2×2×A/3 ,A=更号2
是否可以解决您的问题？