Question

一道概率题，求高手：

给一家公司下注，公司现值为S，S服从0-1内的均匀分布。虽然不知S的具体值，但是知道一旦下注，公司的值就会增加到2S。只有下注的量大于等于公司现值S时，下注才会被接纳。请问应该如何下注，可以是期望收益最大？
谢谢啦~

Answer 1

设下的注为X。
1. 如果 X<=1. 我们考虑三个区间： [0， X/2], [X/2, X],[X, 1]. 如果S落在[X, 1]中，下注不会被接纳，收益为0.
任给0<a<X/2,
[0， X/2]中的 S = X/2-a， 给出收益 X - 2S = 2a;
[X/2， X]中的 S = X/2+a， 给出收益 X - 2S = -2a;
一亏一赚，且亏赚的量相同。由于S服从0-1内的均匀分布，收益在[0， X/2]和 [X/2, X]上一亏一赚，且亏赚的量对称。是这说明期望收益为零。

2. 如果 X > 1, 则 其期望收益将小于 X = 1的期望收益。 所以会亏钱。

此题也可以写出payoff function， 通过积分求期望，结论相同。

结论很失望， 怎么买都没赚头。