Question

已知公差不为0的等差数列｛an｝满足a2=3,a1,a3,a7成等比数列 (1)求an的通项公式

已知公差不为0的等差数列｛an｝满足a2=3,a1,a3,a7成等比数列
(1)求an的通项公式
数列{bn}满足bn=an/an+1+an+1/an，求数列bn前n项的和Sn
设cn=2∧n(an+1/n-λ)若数列cn是单调递减数列求λ的取值范围

Answer 1

（Ⅰ）由题知 a 23 =a1a7，设等差数列{an}的公差为d，
则(a1+2d)2=a1（a1+6d），
a1d=2d2，∵d≠0
∴a1=2d． …（1分）
又∵a2=3，
∴a1+d=3a1=2，d=1…（2分）
∴an=n+1． …（3分）
（Ⅱ）∵bn= an an+1 + an+1 an = n+1 n+2 + n+2 n+1 =2+ 1 n+1 - 1 n+2 ． …（4分）
∴Sn=b1+b2+…+bn=（2+ 1 2 - 1 3 ）+（2+ 1 3 - 1 4 ）+…+（2+ 1 n+1 - 1 n+2 ）=2n+ n 2(n+2) ． …（6分）
（ III）cn=2n（ an+1 n -λ）=2n（ n+2 n -λ），使数列{cn}是单调递减数列，
则cn+1-cn=2n（ 2(n+3) n+1 - n+2 n -λ）＜0对n∈N*都成立 …（7分）
即 2(n+3) n+1 - n+2 n -λ＜0⇒λ＞( 2(n+3) n+1 - n+2 n )max…（8分）
设f（n）= 2(n+3) n+1 - n+2 n ，
f（n+1）-f（n）= 2(n+4) n+2 - n+3 n+1 - 2(n+3) n+1 + n+2 n
= 2(n+4) n+2 + n+2 n - 3(n+3) n+1
=2+ 4 n+2 +1+ 2 n -3- 6 n+1
= 2(2-n) n(n+1)(n+2) …（9分）
∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…
当n=2或n=3时，f（n）max= 4 3 ，
∴( 2(n+3) n+1 - n+2 n )max= 4 3
所以λ＞ 4 3 ．