Question

高二数学，立体几何，请高手帮忙！（急！）

1、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=根号2AA1，D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE，求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值

2、在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF‖AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，求四面体B-EDF的体积

3、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1N=AN=三分之根号二a，（1）求证：MN‖平面BB1C1C；（2）求MN的长

Answer 1

1.设AA1=a，D在平面ABC1上投影为M，取AB中点N，连接CM，AM，BM，C1N。
∴∠DAM为AD和平面ABC1所成角
易求AD=BD=CD=（√6/2）a
∴M为等腰三角形ABC1（AC1=BC1）外心，AM=BM
所以M在C1N上，C1N⊥AB。
CM=AM， AN平方+MN平方=AM平方
AN平方+（C1N-AM）平方=AM平方
解得 AM= （5√2/6）a，
DM=√（AD平方-AM平方）=（1/3）a。
sin∠DAM=DM/AD=√6/9

2.分别取AB,CD中点M,N连接MN
BCF为等腰直角三角形FH=1
易得V E-ABD=V E-AMND
V BCF-MNE=V B-CDEF=S BCF*EF=1/2*2*1*1=1
V B-DEF:V B-CDEF=S EDF:S CDEF=1*1*1/2:(1+2)*1*1/2=1:3
所以V B-DEF=1/3
3.
过M、N分别作M1M11//AA1，N1N11//AD
因A1M=AN，ABCD-A1B1C1D1为正方体
AN1=DN11=A1M1=AM11=根号2a /3
所以N1和M11重合，
且M1MN1NN11所在平面//平面BB1C1C
所以MN//平面BB1C1C
当点移动到A1点，N点移动到A点时，
MN的长的最小为棱长a