Question

(高等数学) 第八道题，用高斯公式求解曲面积分，我算出来的答案很参考答案不同，但我觉得自己用柱坐

(高等数学) 第八道题，用高斯公式求解曲面积分，我算出来的答案很参考答案不同，但我觉得自己用柱坐标求旋转抛物面的三重积分的时候没有出错，所以恳求大家也帮忙算算，我纠结了很久了〒_〒

Answer 1

8. (1) 旋转曲面 ∑：z=x^2+y^2.
记 F = x^2+y^2-z, F'<x>=2x, F'<y>=2y, F'<z>=-1,
得法向量是 {2x， 2y， -1}， 单位法向量为
{2x/√(1+4x^2+4y^2)， 2y√(1+4x^2+4y^2)， -1√(1+4x^2+4y^2)}。
（2）补充平面 ∑1：z=2，x^2+y^2≤2 部分，取上侧. 则
I = ∫∫<∑> = ∫∫<∑+∑1> - ∫∫<∑1>,
前者用高斯公式，后者 z=2， dz=0，得
I = ∫∫∫<Ω> [8(y-1)+8y+1]dxdydz -∫∫<x^2+y^2≤2>2(8y+1)dxdy
= ∫<0,2π>dt ∫<0,√2>(16rsint-7)rdr ∫<r^2,1>dz
- ∫<0,2π>dt ∫<0,√2>(16rsint+2)rdr
= ∫<0,2π>dt ∫<0,√2>(16rsint-7)r(1-r^2)dr
- ∫<0,2π>dt ∫<0,√2>(16rsint+2)rdr
= ∫<0,2π>dt ∫<0,√2>[16(r^2-r^4)sint-7(r-r^3)]dr
- ∫<0,2π>dt ∫<0,√2>(16r^2sint+2r)dr
=∫<0,2π>(-32√2/15)sintdt - ∫<0,2π>[(32√2/3)sint+2]dt
= ∫<0,2π>[(-2√2/5)sint-2]dt
= [(2√2/5)cost-2t]<0,2π> = -4π

追问

我看不到你三重积分的结果？

追答

对z积分上限错了，应为2.
变形后我与后面合并了。若不合并 重新解答如下：
I = ∫∫∫ [8(y-1)+8y+1]dxdydz -∫∫2(8y+1)dxdy
= ∫dt ∫(16rsint-7)rdr ∫dz
- ∫dt ∫(16rsint+2)rdr
= ∫dt ∫(16rsint-7)r(2-r^2)dr
- ∫dt ∫(16rsint+2)rdr
= ∫dt ∫[16(2r^2-r^4)sint-7(2r-r^3)]dr
- ∫dt ∫(16r^2sint+2r)dr
= ∫dt [16(2r^3/3-r^5/5)sint-7(r^2-r^4/4)]
- ∫dt [16r^3sint/3+r^2]
= ∫[(128√2/15)sint-7]dt - ∫[(32√2/3)sint+2]dt
= [(-128√2/15)cost-7t] + [(32√2/3)cost-2t]
= -14π+(-4π) = -18π

Answer 2

那个三重积分是
∫∫∫(8y-8+8y+1)dV=∫∫∫(16y-7)dV
根据积分区域的对称性，∫∫∫16ydV=0
所以∫∫∫(8y-8+8y+1)dV=∫∫∫(16y-7)dV= -7∫∫∫dV
= -7[∫(0->2π)dθ]* [∫(0->√2)rdr]* [∫(r^2->2) dz]
= -7*(2π)
= -14π

追问

我用极坐标算哪里出错了？

我算到-28的，为什么？？

追答

z不是从0到2，应该是从x^2+y^2到2
用极坐标的话，是从r^2到2

追问

哦，对哦！谢谢啦\^O^/