Question

不看后悔~~一道经典的常微分方程

Answer 1

原式可以经过如下的变化，变成可分离变量的形式，
(Mx-Ny)dx+(My+Nx)dy=0
所以
dy/dx=(Ny-Mx)/(My+Nx)=[N(y/x)-M]/[M(y/x)+N]

设u=y/x
所以y=ux
dy/dx=u+xdu/dx

带入原式
u+xdu/dx=(Nu-M)/(Mu+N)
所以
xdu/dx= -M(1+u^2)/(Mu+N)

那么[(Mu+N)/(1+u^2)]du= -Mdx/x

这就成功的分离变量了。

追问

谢谢~~但那个M和N都是齐次函数（次数可以不一样），这样的分离变量似乎还不完全

追答

对了，是不完全，如果是那样的话，题目应该变一变，变成：
化为全微分方程。
(Mx-Ny)dx+(My+Nx)dy=0

那样就是
令P=Mx-Ny
Q=My+Nx

即令Q'x=P'y即可，
也就是y(M'x)+N+x(N'x)=x(M'y)-N-y(N'y)

这样的话，不用分离变量，也能解这个微分方程了。