Question

已知：如图所示，四边形ABCD中，角ABC=角ADC=90°，M是AC上任意一点，O是B

已知：如图所示，四边形ABCD中，角ABC=角ADC=90°，M是AC上任意一点，O是BD的中点连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND

Answer 1

已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD中点，连接MO，并廷长MO到N，使NO＝MO，连接BN与ND。

①判断四边形BNDM的形状，并证明

②若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由

③，在②的条件下，若∠BAC＝30°，∠ACD＝45°，求四边形BNDM的各内角的度数

(1)证明：∵O是BD的中点，
∴OB=OD，又NO=MO，
∴由平行四边形的判定定理知四边形BNDM是平行四边形.
(2)是菱形。
由(1)知四边形BNDM是平行四边形，
又∠ABC=∠ADC=90°，
M是AC的中点
∴BM=1/2AC，DM=1/2AC，
故BM=DM，
∴平行四边形BNDM是菱形.
(3)∵∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=30°，∠ACD=45°，
∴∠BCA=60°，∠DAC=45°，
∴∠BMC=2∠BAC=60°，∠DMC=2∠DAC=90°，
于是∠BMD=∠BMC+∠DMC=60°+90°=150°，
∴四边形(菱形)BNDM的各内角度数为∠BMD=∠BND=150°，
∠MBN=∠MDN=30°.