Question

已知椭圆x²/2+y²=1 1。求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程 2。过A（2,1）的直线l与椭圆

已知椭圆x²/2+y²=1
1。求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程
2。过A（2,1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦中点轨迹方程

Answer 1

1) x^2/2+y^2=1 y=2x+b联立
　　x^2/2+4x^2+4bx+b^2=1
　　9x^2+8bx+2b^2-2=0
　　x1=[-8b-√(64b^2-72b^2+72)]/18=[-8b-√(-8b^2+72)]/18=[-4b-√(18-2b^2)]/9
　　x2=[-4b+√(18-2b^2)]/9 18-2b^2>=0 b^2<=9 |b|<=3
　　y1=[-8b-2√(18-2b^2)]/9+b
　　y2=[-8b+2√(18-2b^2)]/9+b
　　中点坐标：（-4b/9, -8b/9+b ） -4/3<=x<=4/3
　　中点轨迹的参数方程：x=-4b/9 y= -8b/9+b y/x=2-9/4=-1/4
　　即斜率为2的平行弦的中点轨迹方程为：y=-x/4 -4/3<=x<=4/3
2) x^2/2+y^2=1 y=k(x-2)+1 联立, 解法与1）类似。

Answer 2

此为经典题型，将弦的两个端点坐标设出来，各代入原方程，再利用中点坐标公式，求解即可，第二题，则可先求出交点坐标，再利用中点坐标公式即可。