Question

证明函数y=x-1/x 在（0，+∞）上是增函数。 要详细过程 谢谢了

Answer 1

设y=f(x)

任取0<x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1-1/x1-x2+1/x2=(x1-x2)+(x1-x2)/x1*x2=(x1-x2)(1+1/x1*x2)

因为0<x1<x2，所以x1-x2<0,1+1/x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)

所以y=x-1/x 在（0，+∞）上是增函数

Answer 2

用导数做(不知道导数是什么的话自行百度一下)，导数的符号为'
对于一个函数，A/B（你的题目中A=x-1，B=x）
（A/B)'=(A'*B-B'*A)/B^2
y’= [(x-1)'*x-x'*(x-1)]/x^2
= [x^2-(x-1)]/x^2
= (x^2-x+1)/x^2
因为x^2-x+1始终大于0（这个不用讲了吧），x^2始终大于0，所以y'始终大于0
因为导数表示的是一个函数的变化趋势，导数大于0说明这个函数在（0，+∞）上始终是增函数

Answer 3

设任意x1,x2属于这个区间且x1大于x2。f(x1)-f(x2)=x1-1/x1-(x2-1/x2)=(x1-x2)+(x1-x2)/x1