Question

一道高中函数题

已知函数f（x）=1+x-x²/2+x³/3-……+x^2013/2013，g(x)=1-x+x²/2-x³/3+……-x^2013/2013，设F(x)=f(x+3)g(x-4),且函数F(x）的零点在区间【a,b】（a＜b，a，b∈Z）上，求b-a的最小值

Answer 1

答案：10.
解：f(x)+g(x)=2 ,f(x)的导数f'(x)=1-x+x^2+......+x2012=(1+X^2013)/(1+x)>0
所以 f(x)是增函数， 又 f(0)=1, f(-1)=-1/2-1/3-1/4-......-1/2013<0
f(X)=0的零点区间为（-1，0）,且是唯一的零点。
g(x)=0的零点即为 f(X)=2的零点，又 f(1)=1+1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+......+1/2011-1/2012+1/2013>3/2=2+(1/3-1/2)+(1/5-1/4)+......+(1/2013-1/2012)<2
f(2)=1+2+(2^3/3-2^2/2)+(2^5/5-2^4/4)+.....+(2^2013/2013-2^2012/2012)>3
所以 g(x)=0的零点区间为：（1，2），且是唯一的零点。
F(x)=f(x+3)g(x-4)的零点即为：f(x+3)=0 或 g(X-4)=0 ===>-1<x1+3<0 或 1<x2-4<2
所以 -4<x1<-3 5<x2<6
F(X)的零点区间为：（-4，6）===>b-a=10.