Question

在等腰梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC,点P为BC边上一点,PE垂直AB于点E,PF垂直DC于点F,BG垂直CD于点G,求PE+PF=B

Answer 1

过P作CD的平行线交BG于Q、交AB于H
∵ ∠BQP=∠PEB=90°, ∠BPQ=∠PBQ
∴ △BPQ≌△PBE, 有：BQ=PE，
又BG平行于PF，有GQ=PF，
所以 PE+PF=BQ+GQ=BG

Answer 2

证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，

∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，

∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，

∴四边形PHGF是矩形，

∴PF=HG，PH∥CD，

∴∠BPH=∠C，

在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，

∴∠PBE=∠BPH，

又∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，

在△PBE和△BPH中

∠PEB=∠BHP=90°

∠PBE=∠BPH

BP=PB

∴△PBE≌△BPH（AAS），

∴PE=BH，

∴PE+PF=BH+HG=BG．

Answer 3

证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，（1分）
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD，（1分）
∴∠BPH=∠C，（1分）
在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH，（1分）
∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，
∴△PBE≌△BPH（AAS）（2分）
∴PE=BH，（1分）
∴PE+PF=BH+HG=BG．（1分）