Question

高中数学题解答

1.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2)=—f（x),则f（6）的值为——

2.已知函数f（x）=x²+ax+b为偶函数，求实数a的值

3.设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是:
A f（x）f（-x）是奇函数 B f（x）|f（-x）|是奇函数
C f（x）-f（-x）是偶函数 D f(x）+f（-x)是偶函数

不光要答案还要详细解答 谢谢

Answer 1

解:(1).因为f(x)是定义在R上的奇函数.因此f(0)=0.
由f(x+2)=-f(x)得
f(0+2)=f(0)即f(2)=f(0)=0
f(2+2)=f(2)即f(4)=f(2)=0
f(4+2)=f(4)即f(6)=f(4)=0
(2).偶函数的性质:f(x)=f(-x).且f(0)=0
把x=0代入.得f(0)=0+0+b=0.所以b=0
f(x)=x^2+ax
又f(x)=f(-x).x^2+ax=x^2+a(-x)
得2ax=0.因为x属于R.所以a=0.
(3).对A.设g(x)=f(x)f(-x).
g(-x)=f(-x)f(x)=g(x)所以A是偶函数.A错
对B.g(x)=f（x）|f（-x）|.g(-x)=f(-x)|f（x）|.B错
对C.g(x)=f(x)-f(-x).g(-x)=f(-x)-f(x).g(x)=g(-x).是奇函数
对D.g(x)=f(x）+f（-x).g(-x)=f(-x)+f(x).g(x)=g(-x).是偶函数
因此D,正确.选D

Answer 2

1.奇函数f（0）=0，有因为f（6）=-f（4）=f（2）=-f（0），所以f（6）的值为0
2.是偶函数，则函数图像关于Y轴对称，即对称轴为Y轴，所以a=0
3.直接利用函数的奇偶性的定义。如A答案，令g（x）= f（x）f（-x）.所以g（-x）= f（-x）f（x）=g（x） .是偶函数。B‘C‘D同理，即得答案为D