Question

已知函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,并且当x>o时,f(x)>1,f(3)=4.

1 证明f（x）为R上的增函数
2 求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值

Answer 1

1、令y为正实数，则x+y>x,且f(y)>1
f(x+y)- f(x)
= f(x)+f(y)-1- f(x)
= f(y)-1。。。此式大于0
所以f(x)在实数上是增函数。
2、f(x)在实数上是增函数
所以在[1,2]上最小值为f(1)，最大值为f(2)
令x=y=1
则f(2)= f(1)+f(1)-1=2 f(1) -1。。。①
令x=2，y=1
则f(3)= f(2)+ f(1)-1
带入①得到f(3)=3f(1)-2=4
所以f(1)=2，f(2)=3

Answer 2

证明:
f(3)
=f(2+1)
=f(2)+f(1)-1
=f(1+1)+f(1)-1
=[f(1)+f(1)-1]+f(1)-1
=3f(1)-2=4
∴f(1)=2

(2)证明:
∵f(0+0)=f(0)+f(0)-1,∴f(0)=1
∵f(-x+x)=f(-x)+f(x)-1,∴f(0)=f(-x)+f(x)-1
∴f(-x)=1+f(0)-f(x)=2-f(x),即f(-x)=2-f(x)
设X1>X2
则f(X1-X2)=f(X1)+f(-X2)-1=f(X1)+[2-f(X2)]-1=f(X1)-f(X2)+1
即f(X1)-f(X2)=f(X1-X2)-1
∵当x>0时,f(x)>1
又∵X1-X2>0
∴f(X1-X2)>1,即f(X1-X2)-1>0,即f(X1)-f(X2)>0
∴f(X1)>f(X2)
综上:当X1>X2时,f(X1)>f(X2)
∴f(x)为增函数
接下来自己算