Question

高中数学题：已知X>0，Y>0，X+Y=1，用综合法证明：（1+1/X）（1+1/Y）>=9

给出详细过程，好的有奖。

Answer 1

证明：∵x>0，y>0，且x+y=1，
∴由基本不等式知，xy≤[(x+y)/2]²=1/4，（当且仅当x=y=1/2时取等号）

（1+1/x）(1+1/y)
=1+1/y+1/x+1/(xy)
=1+(x+y+1)/(xy)
=1+2/(xy)
≥1+2/(1/4)
=1+8
=9，（当且仅当x=y=1/2时取等号），
∴不等式得证.

Answer 2

（1+1/X）（1+1/Y）
=1+1/x+1/y+1/xy
=1+(x+y)/xy+1/xy
=1+2/xy
因为a^2+b^2>= 2ab .所以 1=x+y>=2根号（x*y）
两边平方得
1=(x+y)^2>=4*(xy) 得 xy<=1/4(x+y)^2=1/4 代入不等式得
=1+2/xy
>=1+2/(1/4)=1+8=9