Question

已知，如图二次函数y=ax²+bx+c的图像与y轴交于点c（0，4）与X轴交于点A,B点B（4，0

已知，如图二次函数y=ax²+bx+c的图像与y轴交于点c（0，4）与X轴交于点A,B点B（4，0）抛物线对称轴为x=1，直线AD交抛物线于点D（2，m） （1）求二次函数解析式并写出D坐标 （2）点Q是AB上一动点，点Q作QE‖AD交BD于E，连接DQ，当△DQE的面积最大时，求点Q坐标 （3）直线AD交Y轴于点F，点F为抛物线对称轴上动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长最小时，求M,N坐标

Answer 1

（1）因为二次函数y=ax²+bx+c的图像与y轴交于点C(0,4)
所以，c=4①
因为与x轴交于点A、B，点B(4,0)
所以，4²a+4b+c=0②
因为抛物线对称轴为x=1
所以，-b/(2a)=1③
①②③联立方程组，解得a=-1/2，b=1，c=4
所以，二次函数解析式为y=-1/2x²+x+4
因为直线AD交抛物线于点D(2,m)
所以，m=-1/2×2²+2+4=4
即点D的坐标为(2,4)
（2）设点Q的坐标为(q,0)，点Q到直线AD的距离为d
当y=0时，-1/2x²+x+4=0
解得x1=-2，x2=4
所以，点A的坐标为(-2,0)，-2<q<4
AD=√[(-2-2)²+(0-4)²]=4√2
直线AD的解析式为(y-4)/[x-(-2)]=(y-0)/(x-2)
整理得x-y+2=0
所以，d=|1×q+(-1)×0+2|/√[1²+(-1)²]=(q+2)/√2
因为QE∥AD
所以，△BQE∽△BAD
所以，QE/AD=BQ/BA
QE=AD·BQ/BA=4√2×(4-q)/[4-(-2)]=2√2(4-q)/3
S△DQE=1/2×QE×d=1/3(-q²+2q+8)
当q=-2/[2×(-1)]=1时，S△DQE最大
所以，点Q的坐标为(1,0)
（3）作点C关于对称轴x=1的对称点C'，点F关于x轴的对称点F'，连接C'F'交对称轴x=1于点M，交x轴于点N，则点M、N即为所求点
若所求点是对称轴x=1上点M'、x轴上点N'(点M'、N'不为点M、N，或不同时为点M、N)，则
C'F'<C'M'+M'N'+N'F'(俩点之间线段最短)
即，C'M+MN+NF'<C'M'+M'N'+N'F'
因为，C'M=CM，NF'=NF，C'M'=CM'，N'F'=N'F(对称的性质)
所以，CM+MN+NF<CM'+M'N'+N'F
所以，CM+MN+NF+FC<CM'+M'N'+N'F+FC
所以，所作点M、N是使四边形CMNF周长最小的点
由（2）可知，直线AD的解析式为x-y+2=0
当x=0时，0-y+2=0
解得y=2
所以，点F的坐标为(0,2)
所以点F'的坐标为(0,-2)
因为点C的坐标为(0,4)，点C、C'关于对称轴x=1对称
所以，点C'的横坐标为2×1-0=2，点C'的坐标为(2,4)
直线C'F'的解析式为(y-4)(x-0)=[y-(-2)](x-2)
当x=1时，y=1
当y=0时，x=2/3
所以，点M的坐标为(1,1)，点N的坐标为(2/3,0)．