Question

在△ABC中，AB=2根号5，AC=4，BC=2根号5，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ＡＢＤ

在△ABC中，AB=2根号5，AC=4，BC=2根号5，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ＡＢＤ为等腰直角三角形

Answer 1

解：∵AC=4，BC=2，AB=2 5 ∴AC 2 +BC 2 =AB 2 ， ∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°． 分三种情况： 如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E． ∵DE⊥CB（已知） ∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定义）， ∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形两锐角互余）， ∵△ABD为等腰直角三角形（已知）， ∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定义）， ∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定义）， ∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等）， 在△ACB与△BED中， ∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证）， ∴△ACB≌△BED（AAS）， ∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形对应边相等）， ∴CE=6（等量代换） 根据勾股定理得：CD=2 10 ； 如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E． ∵BC⊥CA（已知） ∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定义） ∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形两锐角互余） ∵△ABD为等腰直角三角形（已知） ∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定义） ∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定义） ∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等） 在△ACB与△DEA中， ∵∠ACB=∠DEA（已证）∠CAB=∠EDA（已证） AB=DA（已证） ∴△ACB≌△DEA（AAS） ∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形对应边相等） ∴CE=6（等量代换） 根据勾股定理得：CD=2 13 ； 如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F． ∵∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵∠DAB+∠DBA=90°， ∴∠EBD+∠DAF=90°， ∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠DBE=∠ADF， ∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD， ∴△AFD≌△DEB，易求CD=3 2 ．