Question

已知函数f（x）=x^2+ax-lnx，a∈R

（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x^2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
（3）当x∈（0，e]时，求证：e^2x^2-5/2x>（x+1）lnx.
其中第二问的解法中a=4/e的两个情况被舍去了，为什么？还有两种情况的a为什么取倒数？
解法图：http://f.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4e4a20a4462309f7dd647420710e0cf3d7cad6fd.jpg
更正一下，为什么第二问还有两种情况中在求a的取值范围时a要取倒数？

Answer 1

（1）f'(x)=2x+a-1/x 在【1,2】上有f'(x)<=0 即a<=min(1/x-2x) 其中x取遍【1,2】
令φ（x）=1/x-2x φ'(x)=-1/x^2-2<0 知φ（x）在【1,2】上单调下降 所以a<=φ（2）=1/2-4=-7/2
(2) g(x)=ax-lnx g'(x)=a-1/x=a（x-1/a）/x 若a<=0,则 g’(x)<=0 g(x)在（0,e】上的最小值 为g（e）=ae-1=3 a=2/e>0 不符合a<=0的佳色
若a>0 在x<1/a 区间 g'<0 g单降 在x>1/a 区间 g'> 0 g增加
若0<a<=1/e 那么1/a>=e g(x)在（0,e】上的单降,最小值为g（e）=ae-1=3 得a=2/e 与 0<a<1/e矛盾
若a>1/e,那么 1/a<e g(x)在（0,e】上的最小值为g（1/a）=1+lna=3 a=e^2>1/e
存在这样的a=e^2
(3)有（2）题结论，x∈（0，e）时 (e^2)x-lnx的最小值为3，剩下仅需证明lnx/x<1/2 即可
令h（x）=2lnx-x h’（x）=2/x-1 0<x<2时 h'>0 2<x<e时 h‘<0
所以h在区间（0，e】的最大值为h(2)=2ln2-2=2ln(2/e)<0
所以在区间（0，e】 2lnx-x<0 lnx/x<1/2
那么(e^2)x-lnx≥3=5/2+1/2>5/2+lnx/x
(e^2)x-5/2 >lnx+lnx/x
希望对你能有所帮助。