Question

已知双曲线C:x^2/a^2－y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√3,焦点到渐近线的距离

√2,设直线l是圆o:x^2+y^2=2上的动点M（x0，y0）处的切线，L与双曲线交于不同的两点A，B，证明角AOB的大小为定值

Answer 1

双曲线C:x^2/a^2－y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率c/a=√3,
∴c^2=3a^2,
焦点(c,0)到渐近线x/a-y/b=0,即bx-ay=0的距离=bc/c=b=√2，
∴b^2=c^2-a^2=2a^2=2,a^2=1,
∴双曲线C的方程是x^2-y^2/2=1.①
直线l是圆o:x^2+y^2=2上的动点M（x0，y0）处的切线，
∴l:x0x+y0y=2,x=(2-y0y)/x0,②
代入①，（2-y0y)^2/x0^2-y^2/2=1,
∴2(4-4y0y+y0^2y^2)-x0^2y^2=2x0^2,
整理得（2y0^2-x0^2)y^2-8y0y+8-2x0^2=0,
设交点A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=8y0/(2y0^2-x0^2),y1y2=(8-2x0^2)/(2y0^2-x0^2),
由②，x1x2=(2-y0y1)(2-y0y2)/x0^2
=[4-2y0(y1+y2)+y0^2y1y2]/x0^2
=[4(2y0^2-x0^2)-16y0^2+(8-2x0^2)y0^2]/[x0^2(2y0^2-x0^2)]
=-2(2+y0^2)/(2y0^2-x0^2),
∴x1x2+y1y2=(-4-2y0^2+8-2x0^2)/(2y0^2-x0^2)=0(∵x0^2+y0^2=2),
∴∠AOB=90°.