Question

第二小题！急求！

Answer 1

答：
1）
抛物线C1，x^2=2py，焦点（0，p/2）在抛物线y=(1/2)x^2+1上：
p/2=0+1
解得：p=2
所以：C1抛物线为x^2=4y，准线方程为y=-1
2）
设点P为（2a，a^2）在C1抛物线上
对C2抛物线方程求导：y'(x)=x
点M为（2t，2t^2+1），点N为（2n，2n^2+1)
则有：
kpm=2t=(2t^2+1-a^2)/(2t-2a)
kpn=2n=(2n^2+1-a^2)/(2n-2a)
整理：
2t^2+4at+a^2-1=0
2n^2+4an+a^2-1=0
显然，t和n是方程2x^2+4ax+a^2-1=0的两个根
根据韦达定理有：
t+n=-2a
tn=(a^2-1)/2
因为：m=(kpm*kpn)=2t*2n=4tn=2(a^2-1)∈[2,4]
解得：2<=a^2<=3
判别式=(4a)^2-4*2*(a^2-1)>=0

所以：判别式=8a^2+8>0成立，t，n恒有不同的解
OP^2=(2a-0)^2+(a^2-0)^2
=4a^2+a^4
=(a^2+2)^2-4
因为：2<=a^2<=3，4<=a^2+2<=5
所以：12<=OP^2<=21
所以：2√3<=|OP|<=√21